Характеристичний поліном

Характеристичний поліном квадратної матриці

У лінійній алгебрі характеристичний поліном квадратної матриці — це многочлен, який визначається за матрицею. Він має багато застосувань у лінійній алгебрі та інших областях математики. Це потужний інструмент, який може використовуватися для вивчення багатьох властивостей матриці, включаючи її власні значення та власні вектори.

Визначення характеристичного полінома

Для квадратної матриці

     
    A
  

{\displaystyle \ A}

розміру

     
    n
    ×
    n
  

{\displaystyle \ n\times n}

, характеристичний поліном

     
    p
    A
  

(

  
     
    λ
    )
  

{\displaystyle \ p_A(\lambda )}

— це многочлен степеня

     
    n
  

{\displaystyle \ n}

від змінної

     
    λ
    ,
  

{\displaystyle \ \lambda ,}

який задається формулою:

     
    p
    A
  

(

  
     
    λ
    )
  

=

  
     
    d
    e
    t
  

(

  
     
    A
      −
      
    
      λ
    I
    n
  

)
  

,
  

{\displaystyle \ p_A(\lambda )\ =\ \det (A\ -\ \lambda I_n),}

де:

     
    d
    e
    t
  

{\displaystyle \ det}

— визначник матриці,

     
    I
    n
  

{\displaystyle \ I_n}

— одинична матриця розміру

     
    n
    ×
    n
  

{\displaystyle \ n\times n}

.

Властивості характеристичного полінома

• Характеристичний поліном — це моноічний многочлен, тобто його старший коефіцієнт дорівнює 1.

• Ступінь характеристичного полінома дорівнює порядку матриці.

• Коефіцієнти характеристичного полінома є початковими елементарними симетричними многочленами від власних значень матриці.

• Власні значення матриці є коренями характеристичного полінома.

• Мінімальний многочлен матриці ділить характеристичний поліном.

Застосування характеристичного полінома

• Характеристичний поліном використовується для визначення власних значень та власних векторів матриці.

• Характеристичний поліном використовується для визначення рангу матриці.

• Характеристичний поліном використовується для визначення оберненої матриці.

* Характеристичний поліном використовується для визначення детермінанта матриці.

* Характеристичний поліном використовується для визначення слідів та інших інваріантів матриці.

Знаходження характеристичного полінома

Для знаходження характеристичного полінома матриці можна використати такі методи:

• Метод рядків та стовпців: цей метод полягає у винесенні спільних множників із рядків та стовпців матриці та подальшому розкладанні отриманої матриці на множники.

• Метод доповнень Шура: цей метод полягає у знаходженні доповнень Шура матриці та подальшому розкладанні отриманої матриці на множники.

• Метод Гауссової елімінації: цей метод полягає у використанні Гауссової елімінації для приведення матриці до трикутної форми та подальшому знаходженні характеристичного полінома отриманої матриці.

Висновок

Характеристичний поліном є важливим інструментом у лінійній алгебрі. Він має багато застосувань у різних областях математики.

5 часто задаваних питань по темі статті

1. Що таке характеристичний поліном матриці?

2. Які властивості характеристичного полінома?

3. Де використовується характеристичний поліном?

4. Як знайти характеристичний поліном матриці?

5. Яка історія характеристичного полінома?