Лінійна апроксимація часто не відображає справжню природу функції, особливо коли мова йде про функції високого ступеня. Наприклад, поліном високого ступеня швидко зростає при великих значеннях аргументу, що ускладнює апроксимацію навіть простих функцій, таких як$$y(x)=\frac{1}{1+x^2}$$
на великому інтервалі.
Нелінійна залежність від коефіцієнтів може бути вигіднішою в таких випадках. На практиці використовують два види нелінійної залежності:
Квазілінійна залежність
Цей вид залежності зводиться до лінійної за допомогою вирівнювальної заміни змінних $$\eta(y), \xi(x)$$. Цей спосіб ефективний, коли априорні знання про поведінку функції допомагають знайти відповідну заміну змінних. Наприклад, у випадку апроксимації кривої розпаду заміну змінних часто вибирають як $$\eta =\lg y, {\mathit {t}},$$ де $y(x)$ — швидкість розпаду. У цих змінних крива зазвичай апроксимується ламаною, кожна ланка якої відповідає розпаду членів радіоактивного ряду з різним періодом напіврозпаду.
Дробово-лінійна залежність
У цьому випадку апроксимуюча функція є раціональною, тобто вона є відношенням двох поліномів. Така залежність використовується, коли поведінка функції не може бути описана за допомогою вирівнювальної заміни змінних.
Нелінійна апроксимація є потужним інструментом, який дозволяє більш точно апроксимувати складні функції. Однак вибір відповідного виду нелінійної залежності та її параметрів вимагає знань про поведінку функції та певного досвіду.
Нелінійна апроксимація є важливою технікою, яка доповнює лінійну апроксимацію, дозволяючи більш точно апроксимувати функції, що мають нелінійний характер. На практиці використовуються різні види нелінійної залежності, вибір якого залежить від конкретної функції та доступної інформації про її поведінку.
Часті запитання
- Що таке нелінійна апроксимація?
- Чому лінійна апроксимація іноді неадекватна?
- Які два види нелінійної залежності найбільш часто використовуються?
- Як вибрати відповідну нелінійну залежність для конкретної функції?
- У яких областях знаходить застосування нелінійна апроксимація?