Нормальна Підгрупа (Інваріантна Підгрупа): Клас Суміжності, Фактор-Група
Якщо ви цікавитесь теорією груп, ви напевне знаєте, що нормальна підгрупа (інваріантна підгрупа) — це особлива підгрупа, в якій лівий і правий клас суміжності збігаються. Інваріантні підгрупи дозволяють будувати фактор-групу по заданій групі.
У цій статті ми дослідимо нормальні підгрупи, їх властивості та їх застосування. Ми почнемо з основних визначень і поступово перейдемо до більш складних концепцій, таких як фактор-групи.
Що таке нормальна підгрупа?
Нормальна підгрупа — це підгрупа, яка інваріантна щодо всіх елементів групи. Іншими словами, для будь-якого елемента групи і будь-якого елемента нормальної підгрупи, добуток цих двох елементів також буде елементом нормальної підгрупи.
Нормальні підгрупи зазвичай позначаються як , де — нормальна підгрупа, а — група.
Приклади нормальних підгруп
- Центр групи є нормальним.
- Ядро гомоморфізму є нормальним.
- Підгрупа комутаторів є нормальним.
Властивості нормальних підгруп
Нормальні підгрупи мають ряд важливих властивостей, серед яких:
- Перетин двох нормальних підгруп є нормальним.
- Об'єднання двох нормальних підгруп не обов'язково є нормальним.
- Будь-яка нормальна підгрупа є підгрупою.
- Якщо — нормальна підгрупа групи , то фактор-група є групою.
Фактор-групи
Фактор-група — це група, отримана шляхом розбиття вихідної групи на класи суміжності за даною нормальною підгрупою. Фактор-група позначається як , де — нормальна підгрупа групи .
Застосування нормальних підгруп
Нормальні підгрупи використовуються в різних областях математики, включаючи:
- Теорію груп
- Алгебру
- Топологію
- Аналіз
Висновок
Нормальні підгрупи — це важливий інструмент в теорії груп і мають безліч застосувань в інших областях математики.
Часто задавані питання
- Що таке нормальна підгрупа?
- Які властивості нормальних підгруп?
- Що таке фактор-група?
- Як будується фактор-група?
- Де застосовуються нормальні підгрупи?