Нормальна підгрупа

Have a question? Ask in chat with AI!

Нормальна Підгрупа (Інваріантна Підгрупа): Клас Суміжності, Фактор-Група

Якщо ви цікавитесь теорією груп, ви напевне знаєте, що нормальна підгрупа (інваріантна підгрупа) — це особлива підгрупа, в якій лівий і правий клас суміжності збігаються. Інваріантні підгрупи дозволяють будувати фактор-групу по заданій групі.

У цій статті ми дослідимо нормальні підгрупи, їх властивості та їх застосування. Ми почнемо з основних визначень і поступово перейдемо до більш складних концепцій, таких як фактор-групи.

Що таке нормальна підгрупа?

Нормальна підгрупа — це підгрупа, яка інваріантна щодо всіх елементів групи. Іншими словами, для будь-якого елемента групи і будь-якого елемента нормальної підгрупи, добуток цих двох елементів також буде елементом нормальної підгрупи.

Нормальні підгрупи зазвичай позначаються як , де — нормальна підгрупа, а — група.

Приклади нормальних підгруп

  • Центр групи є нормальним.
  • Ядро гомоморфізму є нормальним.
  • Підгрупа комутаторів є нормальним.

Властивості нормальних підгруп

Нормальні підгрупи мають ряд важливих властивостей, серед яких:

  • Перетин двох нормальних підгруп є нормальним.
  • Об'єднання двох нормальних підгруп не обов'язково є нормальним.
  • Будь-яка нормальна підгрупа є підгрупою.
  • Якщо — нормальна підгрупа групи , то фактор-група є групою.

Фактор-групи

Фактор-група — це група, отримана шляхом розбиття вихідної групи на класи суміжності за даною нормальною підгрупою. Фактор-група позначається як , де — нормальна підгрупа групи .

Застосування нормальних підгруп

Нормальні підгрупи використовуються в різних областях математики, включаючи:

  • Теорію груп
  • Алгебру
  • Топологію
  • Аналіз

Висновок

Нормальні підгрупи — це важливий інструмент в теорії груп і мають безліч застосувань в інших областях математики.

Часто задавані питання

  • Що таке нормальна підгрупа?
  • Які властивості нормальних підгруп?
  • Що таке фактор-група?
  • Як будується фактор-група?
  • Де застосовуються нормальні підгрупи?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Предыдущая запись Дмитро Шемяка
Следующая запись Чарівність (фільм)