Паракомпактний простір

Have a question? Ask in chat with AI!

Топологічний простір, визначення та властивості

У цьому посібнику ми дізнаємося про топологічні простори, визначимо, що таке паракомпактний простір, і дослідимо його властивості.

Визначення топологічного простору

У математиці топологічний простір — це математична модель для геометричних фігур, що вивчає властивості, які не залежать від міри або відстані. Офіційно, топологічний простір — це впорядкована пара (X, T), де:

  1. X — це непуста множина, відома як простір.

  2. T — це сімейство підмножин X, відоме як топологія на X, яке задовольняє наступним аксіомам:

  3. Скінченний перетин відкритих множин є відкритим множиною.

  4. Довільний об'єднання відкритих множин є відкритою множиною.

  5. Пуста множина та весь простір X є відкритими множинами.

Визначення паракомпактного простору

Топологічний простір називається паракомпактним простором, якщо для будь-якого відкритого покриття для X, існує локально-скінченне подрібнення.

  1. Відкрите покриття: {Oα } сімейство відкритих множин X таке, що об'єднання цих множин дорівнює самому X.
  2. Локально-скінченне подрібнення: Сімейство відкритих множин {Vβ } в X називається локально-скінченним, якщо кожна точка x в X має відкриту околицю, яка перетинає лише скінченно багато множин Vβ.

Теорема про паракомпактні простори

Теорема: Топологічний простір є паракомпактним тоді і тільки тоді, коли він є нормально-лінійним.

Нормально-лінійний простір: Топологічний простір, в якому кожна нормальна сім'я замкнутих множин має точку скупчення.

Властивості паракомпактних просторів

  • Паракомпактні простори є нормально-лінійними.
  • Паракомпактні простори є абсолютними ретрактами.
  • Паракомпактні простори мають властивість Ліндлефа.
  • Паракомпактні простори мають властивість Сусліна.
  • Паракомпактні простори мають властивість Фіхтенгольца-Рисіна.

Висновок

Топологічні простори є важливим інструментом у багатьох галузях математики, включаючи геометрію, аналіз і алгебру. Паракомпактні простори — це особливий клас топологічних просторів з унікальними властивостями. Ці властивості роблять паракомпактні простори цінними в різних галузях, включаючи аналіз та геометрію.

Часті запитання

  • Що таке топологічний простір?

Топологічний простір — це математична модель для геометричних фігур, що вивчає властивості, які не залежать від міри або відстані.

  • Яке визначення паракомпактного простору?

Топологічний простір називається паракомпактним, якщо для будь-якого відкритого покриття для X, існує локально-скінченне подрібнення.

  • Якими є властивості паракомпактних просторів?

Паракомпактні простори є нормально-лінійними, є абсолютними ретрактами, мають властивість Ліндлефа, мають властивість Сусліна і мають властивість Фіхтенгольца-Рисіна.

  • Які є приклади паракомпактних просторів?

Паракомпактними є всі метричні простори, всі компактні простори та всі локально-компактні простори.

  • Де використовуються паракомпактні простори?

Паракомпактні простори використовуються в різних галузях, включаючи аналіз та геометрію.


Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Предыдущая запись Санкт-Файт-ан-дер-Глан
Следующая запись Вежа Рател