Топологічний простір, визначення та властивості
У цьому посібнику ми дізнаємося про топологічні простори, визначимо, що таке паракомпактний простір, і дослідимо його властивості.
Визначення топологічного простору
У математиці топологічний простір — це математична модель для геометричних фігур, що вивчає властивості, які не залежать від міри або відстані. Офіційно, топологічний простір — це впорядкована пара (X, T), де:
-
X — це непуста множина, відома як простір.
-
T — це сімейство підмножин X, відоме як топологія на X, яке задовольняє наступним аксіомам:
-
Скінченний перетин відкритих множин є відкритим множиною.
-
Довільний об'єднання відкритих множин є відкритою множиною.
-
Пуста множина та весь простір X є відкритими множинами.
Визначення паракомпактного простору
Топологічний простір називається паракомпактним простором, якщо для будь-якого відкритого покриття для X, існує локально-скінченне подрібнення.
- Відкрите покриття: {Oα } сімейство відкритих множин X таке, що об'єднання цих множин дорівнює самому X.
- Локально-скінченне подрібнення: Сімейство відкритих множин {Vβ } в X називається локально-скінченним, якщо кожна точка x в X має відкриту околицю, яка перетинає лише скінченно багато множин Vβ.
Теорема про паракомпактні простори
Теорема: Топологічний простір є паракомпактним тоді і тільки тоді, коли він є нормально-лінійним.
Нормально-лінійний простір: Топологічний простір, в якому кожна нормальна сім'я замкнутих множин має точку скупчення.
Властивості паракомпактних просторів
- Паракомпактні простори є нормально-лінійними.
- Паракомпактні простори є абсолютними ретрактами.
- Паракомпактні простори мають властивість Ліндлефа.
- Паракомпактні простори мають властивість Сусліна.
- Паракомпактні простори мають властивість Фіхтенгольца-Рисіна.
Висновок
Топологічні простори є важливим інструментом у багатьох галузях математики, включаючи геометрію, аналіз і алгебру. Паракомпактні простори — це особливий клас топологічних просторів з унікальними властивостями. Ці властивості роблять паракомпактні простори цінними в різних галузях, включаючи аналіз та геометрію.
Часті запитання
- Що таке топологічний простір?
Топологічний простір — це математична модель для геометричних фігур, що вивчає властивості, які не залежать від міри або відстані.
- Яке визначення паракомпактного простору?
Топологічний простір називається паракомпактним, якщо для будь-якого відкритого покриття для X, існує локально-скінченне подрібнення.
- Якими є властивості паракомпактних просторів?
Паракомпактні простори є нормально-лінійними, є абсолютними ретрактами, мають властивість Ліндлефа, мають властивість Сусліна і мають властивість Фіхтенгольца-Рисіна.
- Які є приклади паракомпактних просторів?
Паракомпактними є всі метричні простори, всі компактні простори та всі локально-компактні простори.
- Де використовуються паракомпактні простори?
Паракомпактні простори використовуються в різних галузях, включаючи аналіз та геометрію.