Первісна для функції f(x) — Повне пояснення з прикладами
Що таке первісна функція?
Первісна функція для даної функції f(x) — це функція F(x), похідна якої F'(x) дорівнює f(x). Іншими словами, первісна функція — це функція, яка є протилежною похідною. Первісна функція не є унікальною, оскільки для будь-якої первісної функції F(x) функція F(x) + C також є первісною функцією для f(x), де C — довільна константа.
Властивості первісних функцій
Первісні функції мають ряд важливих властивостей, зокрема:
- Похідна первісної функції дорівнює вихідній функції, тобто F'(x) = f(x).
- Якщо F(x) і G(x) є двома первісними функціями для f(x), то F(x) — G(x) є константою.
- Якщо c — довільна константа, то cF(x) також є первісною функцією для f(x).
- Сума двох первісних функцій для f(x) також є первісною функцією для f(x).
- Добуток первісної функції для f(x) на довільну константу c є первісною функцією для cf(x).
Методи знаходження первісних функцій
Існує декілька методів знаходження первісних функцій, зокрема:
- Метод безпосереднього інтегрування. Цей метод передбачає використання формул для первісних функцій основних елементарних функцій. Наприклад, первісна функція для x^n є (x^(n+1))/(n+1), де n є цілим числом.
- Метод підстановки. Цей метод передбачає заміну однієї змінної іншою змінною, яка спрощує інтегрування. Наприклад, первісна функція для sin(x)^2 можна знайти за допомогою підстановки u = sin(x), що дає du/dx = cos(x) і sin(x)^2 = u^2.
- Метод інтегрування частинами. Цей метод передбачає розкладання інтеграла на два інтеграли, один з яких можна легко інтегрувати, а другий можна представити як добуток двох функцій. Наприклад, первісна функція для x sin(x) можна знайти за допомогою інтегрування частинами, використовуючи формулу u = x, dv = sin(x) dx.
- Метод за допомогою таблиці інтегралів. Цей метод передбачає використання таблиці інтегралів, яка містить формули для первісних функцій різних елементарних функцій. Таблиця інтегралів зазвичай включає формули для первісних функцій тригонометричних функцій, експоненціальних функцій, логарифмічних функцій тощо.
Приклади завдань, пов’язаних з первісними функціями
1. Знайти первісну функцію для f(x) = x^2 + 2x + 1.
Використовуючи формули для первісних функцій основних елементарних функцій, отримуємо:
F(x) = ∫(x^2 + 2x + 1) dx
= ∫x^2 dx + ∫2x dx + ∫1 dx
= (x^3)/3 + x^2 + x + C
де C — довільна константа.
2. Знайти первісну функцію для f(x) = sin(2x).
Використовуючи метод підстановки, де u = 2x, отримуємо:
F(x) = ∫sin(2x) dx
= ∫sin(u) (1/2) du
= (-1/2) cos(u) + C
= (-1/2) cos(2x) + C
де C — довільна константа.
3. Знайти первісну функцію для f(x) = x ln(x).
Використовуючи метод інтегрування частинами, де u = ln(x) і dv = x dx, отримуємо:
F(x) = ∫x ln(x) dx
= x ln(x) - ∫1 * ln(x) dx
= x ln(x) - (x ln(x) - x) + C
= x + C
де C — довільна константа.
Часто задавані запитання
1. Яка різниця між первісною функцією та похідною?
Первісна функція — це функція, яка є протилежною похідною. Іншими словами, похідна первісної функції дорівнює вихідній функції.
2. Чи є первісна функція для кожної функції?
Ні, не для кожної функції існує первісна функція. Наприклад, не існує первісної функції для функції f(x) = 1/x.
3. Як знайти первісну функцію для даної функції?
Існує декілька методів знаходження первісних функцій, зокрема метод безпосереднього інтегрування, метод підстановки, метод інтегрування частинами та метод за допомогою таблиці інтегралів.
4. Для чого використовуються первісні функції?
Первісні функції використовуються в різних галузях математики та фізики, зокрема для обчислення площ, об'ємів, довжин кривих та інших геометричних величин.
5. Чи може первісна функція мати більше одного значення?
Ні, первісна функція не може мати більше одного значення для даної функції. Однак, первісна функція може мати більше одного виразу, які є рівними один одному, відрізняючись лише на константу.