Перші кільця
Перше кільце, A, є одномірним редукованим нетеровим кільцем (комутативним з одиницею). Повне кільце часток A, що позначається K, є полем.
Друге кільце
Друге кільце, L, є скінченним розширенням K і є редукованим кільцем. Це означає, що L не містить ненульових нільпотентних елементів (тобто елементів, які при піднесенні до степеня, більшого за деяке значення, стають нулем).
Твердження теореми
Теорема Круля — Акідзукі стверджує, що будь-яке підкільце
B ⊂ L
що містить A, є нетеровим кільцем розмірності 0 або 1.
Додаткові умови
Якщо L як K-модуль має скінченну породжуючу множину, що містить 1, і для деякого елемента
x_i
з цієї множини
L = a_iK ⊕ L’
де L' є підмодулем, породженим іншими елементами породжуючої множини, то для кожного ненульового ідеала I в кільці B, часткове кільце
B / I
є модулем скінченної довжини над A.
Остання умова зокрема виконується, якщо L є вільним K-модулем з базисом, що містить 1.
Теорема Круля — Акідзукі є важливим результатом у комутативній алгебрі. Вона встановлює зв'язок між алгебраїчними властивостями підкілець редукованих кільцевих розширень полів. Теорема має різні застосування в алгебраїчній геометрії та теорії чисел.
Питання, що часто задаються
- Які умови повинні виконуватися кільцями A і L, щоб була застосовна теорема Круля — Акідзукі?
- Що таке нетерове кільце?
- Що таке скінченна породжуюча множина для модуля?
- Що означає, що модуль має скінченну довжину над кільцем?
- Наведіть приклади, коли теорема Круля — Акідзукі виконується і не виконується.