Теорема Вієта

Have a question? Ask in chat with AI!

Теорема Вієта: формули, названі на честь Франсуа Вієта

Що таке теорема Вієта?

Теорема Вієта — це математична теорема, що встановлює зв'язок між коренями многочлена та його коефіцієнтами. Теорема названа на честь французького математика Франсуа Вієта, який сформулював її у 16 столітті.

Формулювання теореми Вієта

Теорема Вієта стверджує, що для многочлена $x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_1x + a_0$, корені $x_1, x_2, \ldots, x_n$ задовольняють наступні формули:

  • Сума коренів дорівнює негативному добутку коефіцієнтів при першому та останньому членах многочлена: $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = -a_{n-1}$.
  • Добуток коренів дорівнює добутку коефіцієнтів при першому та останньому членах многочлена: $x_1 \cdot x_2 \cdot \cdots \cdot x_n = (-1)^n \cdot a_0$.
  • Сума добутків коренів попарно дорівнює негативному добутку коефіцієнтів при другому та передостанньому членах многочлена: $x_1 x_2 + x_1 x_3 + \cdots + x_{n-1} x_n = -a_{n-2}$.
  • І так далі.

Доведення теореми Вієта

Доведення теореми Вієта можна провести за допомогою математичної індукції.

База індукції

Для многочлена першого степеня $x + a$ теорема Вієта очевидно виконується.

Крок індукції

Припустимо, що теорема Вієта виконується для всіх многочленів степеня $n-1$. Розглянемо многочлен $x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_1x + a_0$.

  • Якщо $x_1$ є коренем цього многочлена, тоді $(x — x_1)$ є дільником цього многочлена. Це означає, що цей многочлен можна представити у вигляді $(x — x_1) \cdot (x^{n-1} + b_{n-2}x^{n-2} + \cdots + b_1x + b_0)$.
  • Застосовуючи теорему Вієта до многочлена $x^{n-1} + b_{n-2}x^{n-2} + \cdots + b_1x + b_0$, отримаємо, що сума його коренів дорівнює $-b_{n-2}$, добуток його коренів дорівнює $b_0$, і так далі.
  • Підставивши в ці формули $x_1$, отримаємо, що сума коренів многочлена $x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_1x + a_0$ дорівнює $-a_{n-1}$, добуток його коренів дорівнює $(-1)^n \cdot a_0$, і так далі.

Отже, теорема Вієта виконується для всіх многочленів степеня $n$.

Застосування теореми Вієта

Теорема Вієта має багато застосувань у математиці. Наприклад, вона використовується для:

  • Знаходження коренів многочленів.
  • Розв'язання рівнянь високих степенів.
  • Доведення різних математичних теорем.

Висновок

Теорема Вієта є важливою теоремою в математиці, яка має багато застосувань. Вона дозволяє встановлювати зв'язок між коренями многочлена та його коефіцієнтами, що є дуже корисним для вирішення різних математичних задач.

Часто задавані питання

  1. Що таке теорема Вієта?
  2. Як формулюється теорема Вієта?
  3. Як доводиться теорема Вієта?
  4. Які застосування теореми Вієта?
  5. Хто такий Франсуа Вієт?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Предыдущая запись Бенедетто Моллі
Следующая запись Південний парк