Теорема Вієта: формули, названі на честь Франсуа Вієта
Що таке теорема Вієта?
Теорема Вієта — це математична теорема, що встановлює зв'язок між коренями многочлена та його коефіцієнтами. Теорема названа на честь французького математика Франсуа Вієта, який сформулював її у 16 столітті.
Формулювання теореми Вієта
Теорема Вієта стверджує, що для многочлена $x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_1x + a_0$, корені $x_1, x_2, \ldots, x_n$ задовольняють наступні формули:
- Сума коренів дорівнює негативному добутку коефіцієнтів при першому та останньому членах многочлена: $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = -a_{n-1}$.
- Добуток коренів дорівнює добутку коефіцієнтів при першому та останньому членах многочлена: $x_1 \cdot x_2 \cdot \cdots \cdot x_n = (-1)^n \cdot a_0$.
- Сума добутків коренів попарно дорівнює негативному добутку коефіцієнтів при другому та передостанньому членах многочлена: $x_1 x_2 + x_1 x_3 + \cdots + x_{n-1} x_n = -a_{n-2}$.
- І так далі.
Доведення теореми Вієта
Доведення теореми Вієта можна провести за допомогою математичної індукції.
База індукції
Для многочлена першого степеня $x + a$ теорема Вієта очевидно виконується.
Крок індукції
Припустимо, що теорема Вієта виконується для всіх многочленів степеня $n-1$. Розглянемо многочлен $x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_1x + a_0$.
- Якщо $x_1$ є коренем цього многочлена, тоді $(x — x_1)$ є дільником цього многочлена. Це означає, що цей многочлен можна представити у вигляді $(x — x_1) \cdot (x^{n-1} + b_{n-2}x^{n-2} + \cdots + b_1x + b_0)$.
- Застосовуючи теорему Вієта до многочлена $x^{n-1} + b_{n-2}x^{n-2} + \cdots + b_1x + b_0$, отримаємо, що сума його коренів дорівнює $-b_{n-2}$, добуток його коренів дорівнює $b_0$, і так далі.
- Підставивши в ці формули $x_1$, отримаємо, що сума коренів многочлена $x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_1x + a_0$ дорівнює $-a_{n-1}$, добуток його коренів дорівнює $(-1)^n \cdot a_0$, і так далі.
Отже, теорема Вієта виконується для всіх многочленів степеня $n$.
Застосування теореми Вієта
Теорема Вієта має багато застосувань у математиці. Наприклад, вона використовується для:
- Знаходження коренів многочленів.
- Розв'язання рівнянь високих степенів.
- Доведення різних математичних теорем.
Висновок
Теорема Вієта є важливою теоремою в математиці, яка має багато застосувань. Вона дозволяє встановлювати зв'язок між коренями многочлена та його коефіцієнтами, що є дуже корисним для вирішення різних математичних задач.
Часто задавані питання
- Що таке теорема Вієта?
- Як формулюється теорема Вієта?
- Як доводиться теорема Вієта?
- Які застосування теореми Вієта?
- Хто такий Франсуа Вієт?